Fraktale #1: Was sind gebrochene Dimensionen ?

von clem

Der eine oder andere hat vielleicht im Zusammenhang mit Fraktalen schonmal gehört, diese hätten eine gebrochene Dimension. In diesem Text möchte ich mit minimalem Aufwand veranschaulichen, was es bedeutet, dass eine geometrische Figur bspw. die Dimension 4/3 hat. Da in der Mathematik ein Dutzend Dimensionstypen existieren, beschränke ich mich hier auf die einfachste, die Selbstähnlichkeitsdimension.

Selbstähnlichkeit & Selbstähnlichkeitsdimension

Man bezeichnet ein Objekt als selbstähnlich, wenn es gänzlich aus verkleinerten Kopien von sich selbst besteht.

Z. B. ist ein Quadrat selbstähnlich, denn es besteht aus 4 gleichen Quadraten oder eine Linie denn sie besteht aus 2 gleichen Linien:



Die Zerlegung in 4 Quadrate (oder 2 Linien) war dabei willkürlich, wir könnten das Quadrat auch in 9,16 oder 32 identische Quadrate zerlegen usw. Für einen allgemeineren Zugang notieren wir die Zahl der Teilstücke N und das Größenverhältnis vom Teilstück zum Original s für ein Paar dieser Varianten:



Für die Linie fällt auf, dass N immer der Kehrwert von s ist.
Für das Quadrat findet man, dass N das Quadrat des Kehrwerts von s ist.

> Auch wenn es unendlich viele Zerlegungen gibt, haben beide Objekte einen charakteristischen Zusammenhang zwischen N und s, und zwar:



Das ist gerade die Zusammenfassung unserer Beobachtungen, sofern wir für das Quadrat D=2 und für die Linie D=1 setzen. Die Zahl D können wir als eine Eigenschaft des Objekts sehen. Man nennt sie die Selbstähnlichkeitsdimension des Objekts.

Gibt es interessantere selbstähnliche Mengen?

Ja. Sie sind aber schwerer vorstellbar. Ein häufiges Konzept zur Beschreibung solcher Mengen ist die Angabe einer Konstruktionsvorschrift. Diese muss man unendlich oft Wiederholen und erhält dann als Ergebnis eine selbstähnliche Menge. Hier sind 3 Beispiele gezeigt, die KOCH-Kurve (a), der SIERPINSKI-Teppich (b) und das SIERPINSKI-Dreieck (c):



Man kann nun auch für diese Objekte die Dimension bestimmen. Man muss sich nur eine Zerlegung überlegen und N, s in die Gleichung einsetzen.

Z. B. zerfällt (b) in N=8 Teilsücke (Quadrate) der Skala s=1/3. Damit die Gleichung erfüllt ist, erhält man eine Dimension von etwa D=1,8928.

Zusammengefasst für alle drei findet man die Dimensionen

(a): D=1,2619 (N=4, s=1/3)
(b): D=1,8928 (N=8, s=1/3)
(c): D=1,5850 (N=3, s=1/2)

Wer noch etwas mit Mathematik zu tun hat, kann die Dimension natürlich explizit selbst bestimmen, indem er N und s in die nach D umgestellte Formel einsetzt:



> Es gibt selbstähnliche Objekte.
> Es gibt darunter solche, die eine gebrochene (nicht ganzzahlige) Selbstähnlichkeitsdimension haben.
> Die Selbstähnlichkeitsdimension ist nur für selbstähnliche Objekte definierbar und daher sehr speziell, aber leicht bestimmbar.
> Ein Objekt, das auf einem Blatt Papier (oder Bildschirm) abbildbar ist, kann auch eine gebrochene Dimension zwischen 1 und 2 haben. Im Allgemeinen schreiben wir die Dimension 1 „Kurvenartigen“ und die 2 „Flächenartigen“ Gebilden zu. Die Beispiele (a)-(c) Widersprechen unserer Intuition.