Wo ist der Widerspruch? (oder besser: Wo ist der Fehler?)
Bei den Recherchen zu einem umfangreicheren Artikel bin ich in einem Mathematikforum auf ein interessantes Rätsel aus dem Strebergarten gestoßen:
Sei W die Menge aller Wörter, die im Duden stehen inklusive dem Zahlwort "15".
Sei S die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich mit höchstens 15 Wörtern (aus W) eindeutig verbal beschreiben lassen.
Hilfsaussage: S hat endlich viele Elemente.
Beweis:
W hat mit Sicherheit endlich viele Worte.
Sei m die Anzahl dieser Worte, dann kann man höchstens
verbale Formulierungen aus 15 Worten erhalten (Das ist gewissermaßen "Geordnetes Ziehen mit Zurücklegen" aus der Schulstochastik!).
Dann kann man höchstens
verbale Formulierungen aus höchstens 15 Worten erhalten und diese Zahl ist endlich.
Damit erhält man erst recht endlich viele Beschreibungen von Zahlen, denn die meisten dieser Formulierungen beschreiben keine Zahlen (wie z. B. "Peter hat gleich Feierabend" aus 4 Wörtern) oder sind sogar sinnlos (wie z. B. "Eine Hallo kommst Erfolg diesmal" aus 5 Wörtern)
Also hat S endlich viele Elemente.
Folgerung: Betrachten wir die Menge aller natürlichen Zahlen die nicht in S liegen, sich also nicht durch höchstens 15 Wörter beschreiben lassen. Wenn S endlich ist, gibt es in der beschrieben Gegenmenge eine kleinste Zahl. Nennen wir sie k.
Dann kann man sagen:
k "ist die kleinste Zahl, die sich nicht aus höchstens 15 Wörtern eindeutig charakterisieren lässt".
Damit lässt sich k aber doch so beschreiben und wir haben ein funky Paradoxon.
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Ergänzung:
Wer neu hier ist und es spannend mag, dem sei zuerst die Lektüre der interessanten Kommentare empfohlen, bevor hier der Schleier gelüftet wird.
Ich habe heute die Lösung eines analogen Paradoxons gefunden, mit dem
einzigen Unterschied, dass die Buchstaben gezählt werden.
Das Paradoxon ist die Beschreibung
Die kleinste mit nicht unter hundert Buchstaben beschreibbare Zahl
die selbst weniger als 100 Buchstaben braucht.
Das ist das BERRY-Paradoxon.
Ein neuer Abstraktionsschritt ist der, dass wir die Längengrenze (im Beispiel die 100) noch nicht festmachen, sondern das Problem für verschiedene Maximallängen untersuchen.
Im Falle einer Grenze von 6 Zeichen funktioniert das ganze nämlich z. B.
noch.
Die kleinste mit nicht unter 6 Zeichen beschreibbare Zahl ist 7 ("Sieben"), denn die Zahlen {1,2,3,4,5} sind in in Worten "vierstellig" und die Beschreibung "kleinste mit nicht unter 6 Zeichen beschreibbare Zahl" hat selbst nicht unter 6 Zeichen. Hier funktioniert das ganze also noch widerspruchsfrei.
Es werden drei Funktionen definiert:
Bedeutung(Beschreibung) = Zahl
Länge(Beschreibung) = Zahl
Berry(Zahl) = Zahl
Die Funktion Bedeutung ordnet einer korrekten Beschreibung die beschriebene Zahl zu.
Die Funktion Länge ordnet einer Beschreibung die Zeichenlänge zu.
Die Funktion Berry ordnet einer Zahl n die kleinste Zahl k zu, die nicht mit unter n Zeichen beschreibbar ist, (also gerade die gesuchte "Grenzzahl zur Grenze n")
Zur Veranschaulichung:
Bedeutung("Sieben")=7
Länge("Sieben")=6
Berry(6)=7
Die letzte Aussage spiegelt vorige Betrachtung wieder: Die kleinste nicht mit unter 6 Zeichen beschreibbare Zahl ist 7.
Schauen wir auf die kleinste nicht mit unter 100 Zeichen beschreibbare Zahl. Sie ist in unserer Sprache:
Berry(100)
Es gibt jetzt aber eine Beschreibung für diese Zahl: "Berry(Hundert)" (in Anführungszeichen)
und:
Länge("Berry(Hundert)") = 14
Man könnte meinen, in dieser Gleichung steckt schon der Widerspruch: Die kleinste nicht mit unter 100 Zeichen beschreibbare Zahl lässt sich mit unter 100 Zeichen beschreiben. Wir müssen aber bedenken, dass diese Zahl erst beschreibbar ist, wenn folgendes gilt:
Bedeutung("Berry(Hundert)") = Berry(100) (a)
erst dann ist die Zahl wirklich beschreibbar und das Paradoxon ungelöst.
Mit Gleichung (a) im Hinterkopf untersuchen wir nochmal unser "Funktionensystem":
Aus der Definition von Berry folgt: Es gibt keine Beschreibung s kürzer als n Zeichen, sodass gilt:
Bedeutung(s) = Berry(n)
Damit das nicht gilt, müssen die Ausdrücke entweder ungleich sein, oder es gibt sie garnicht.
Kompakt umformuliert heißt das:
Für beliebige Aussagen s und Zahlen n gilt entweder
Länge(s) >= n ( >= soll größergleich heißen)
oder
Bedeutung(s) <> Berry(n) ( <> soll ungleich heißen)
oder
Bedeutung(s) oder Berry(n) ist nicht definiert.
Schauen wir jetzt wieder auf Gleichung (a), so sehen wir dass für n=100 und s="Berry(Hundert)", wegen
Länge(s) < n
einer der zwei anderen Fälle zutreffen muss, und somit (a) falsch oder sinnlos ist.
Das war eine überarbeitete Fassung dieser Internetseite, über deren Fund ich mir heute fast ein Loch gefreut hab.
Hier noch etwas Senf hinterher:
Das Resultat ist, dass die Beschreibung entweder garkeine Bedeutung hat, oder eine andere Bedeutung als wir meinen, oder die gemeinte Zahl nicht existiert. Immernoch eine dreifache Oder-Ungewissheit, aber in allen drei Fällen ist das Paradoxon gelöst, weil (a) nicht gilt.
Wenn man diese Erklärung durchdenkt und sogar verstanden hat, fragt man sich trotzdem hinterher, wo liegt denn nun das Paradoxon in der verbalen Variante, im Originalproblem gab es doch diese seltsamen Funktionen garnicht? Und genau das ist der Punkt. Der Fehler im Originalproblem liegt in der leichtfertigen Vermischung der Sprachebenen. Das konnte nach der Definition der 3 Hilfsfunktionen nicht passieren, die uns das Denken etwas abgenommen haben. Der Fehler in unserem Denken ist, die Gültigkeit von Gleichung (a) als intuitive Selbstverständlichkeit zu empfinden, die sich genau als falsch herausstellte.
Das BERRY-Paradoxon ist sehr bedeutend für die Theorie der Zufallszahlen, der Kompression und der künstlichen Intelligenz. Gerade letzterer wird dadurch meiner Meinung nach eine gewisse Grenze gesetzt, da das Problem auf gewisser Ebene damit vergleichbar ist, dass ein Programm selbstdefinierte Eigenschaften untersuchen muss.
Darüberhinaus denke ich, dass es kein mengentheoretisches Problem ist. Es stimmt zwar, dass die in der ersten Formulierung benutzten Mengen nicht definiert sind, aber nicht aus dem Grund, dass die Eigenschaft für eine Mengendefinition ungeeignet ist. Vielmehr ist unklar, ob schon die Eigenschaft selbst korrekt gestellt ist, also ob sie eine Eigenschaft im Sinne der Anwendbarkeit auf jede Zahl ist. Eine mit unkorrekten Eigenschaften definierte Menge existiert natürlich auch gemäß der naiven Mengenlehre schon nicht, wie z. B. die Menge aller sympathischen Zahlen oder aller Zahlen die nur ein bisschen größer sind als 42.
14 Kommentare:
ich sehe kein paradox. sind es die zwei wörter NICHT und EINDEUTIG die dich stören?
k existiert auf jeden Fall und ist die kleinste nichtbeschreibbare Zahl. Dadurch ist sie dann aber durch die Formulierung am Ende doch beschreibbar (!) Also ist sie beides.
k ist nur die kleinste nichtdefinierte zahl. dadurch das man alle elemente der menge -S der größe nach ordnet, führt man eine weitere präsime ein. im grunde sogar eine eineindeutige prämise. im grunde könnte man die elemente von -S auch nach der quersumme oder der anzahl der buchstaben ordnen, diese ordnugsmodelle sind aber wahrscheinlich nicht eineindeutig. man definiert in grude k als eine zahl die element der unendlichen gegenmenge von S in bezug aus ein ordnungsmodell ist. aber vielleicht betrachte ich das zusehr aus den blickwinkel der aussagenlogik.
Du musst das ganze sogar logisch betrachten. Erstmal muss ich sagen, ich weiß die Auflösung auch nicht. Das wir uns verstehen, du meinst mit -S ("Minus S") das am Ende besprochene Komplement (aka "IN ohne S").
Dann ist -S eine (wenn auch unendliche) Teilmenge von IN auf der definitiv eine Ordnung (<,>,=) existiert. An der Stelle ist also nichts faul.
Soweit bin ich mitgekommen, dass auch ich ein paradoxon in dem beschriebenen ganz am anfang sehe, weil clem ja k doch in weniger als 15 wörtern beschreiben konnte. doch was ist jetzt IN?
IN ist der Versuch ein N mit dicken Balken zu schreiben IN={1,2,3,...}
Meiner Meinung nach handelt es sich wie beim russelschen Paradoxon um ein Problem der naiven Mengenlehre, die in ihrer Definition der Menge als „eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen“ zu lasch ist, was zu Widersprüchen führt.
Fassen wir k als Menge auf. In dieser Menge sind Elemente enthalten, die bestimmte Eigenschaften erfüllen, was hier die Eigenschaft der kleinsten Zahl aus der Menge der nicht mit höchstens 15 Wörtern zu beschreibenden Zahlen ist. Zum Paradoxon kommen wir dadurch dass wir diese Menge nun der Menge S zuordnen, da die Elemente aus k die Eigenschaften der Elemente aus S erfüllen, was nach der naiven Mengenlehre ohne weiteres möglich ist, und somit ein Problem darstellt, weil ein Widerspruch resultiert. Also der Widerspruch, dass die Schnittmenge aus S und -S eigentlich die leere Menge ergeben muss, aber k gleichzeitig Element beider Mengen ist.
Nach der heute in der Mathematik üblichen Mengenlehre, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, würde es zu diesem Widerspruch garnicht kommen, wenn ich es richtig gedeutet habe, aufgrund des Fundierungsaxioms, welches besagt, dass eine Menge A ein Element B so enthält, dass A und B disjunkt sind. Disjunkt bezeichnet die Eigenschaft zweier Mengen die in keinem ihrer Elemente übereinstimmen. Ich nehme mal an, dass B Element und Menge zugleich sein kann, da der Begriff "disjunkt" nur auf Mengen angewendet werden kann, oder?
Das würde nun ein Verbot der Bildung der Menge S mit dem Element k nachsich ziehen, da S und k nun nicht mehr disjunkt zueinander wären.
Das Paradoxon wäre also dadurch umgangen indem man der Bildung der Umstände die zum Paradoxon führen einen Riegel vorschiebt.
Und hier wären wir nun bei der Berechtigung des Labels "philosophie" welches dieser Artikel trägt, denn es fragt sich ob es legitim ist solange das Rüstzeug, mit welchem man die Natur zu erfassen versucht, umzuformen, bis sich Konsistänz ergibt auf Kosten des ürsprünglich zu lösenden Problems. Die Strenge führt zwar zu einer Unmenge von Gleichungen die die Prozesse welche in der Natur ablaufen gut berechenbar beschreiben, aber ob die Wirklichkeit dadurch abgebildet wird ist doch fraglich, da zugleich die Untersuchung anderer Prozesse nicht mehr möglich ist.
Es ist doch so, dass wir die Natur mit unseren Sinnen erleben. Dies führt Instinkten und Gedanken, an dessen Ende vieleicht ein Widerspruch steht, wenn man ihn mit den gewöhnlichen Mitteln denkt. Diesen Gedanken dann einfach zu verbieten, ist doch mit dem Anspruch der Abbildung der Wirklichkeit nicht vereinbar, und ich meine man sollte alle Priorität den Sinneseindrücken widmen...
(Ich wiese darauf hin, dass die propagierte Beweisführung, wenn man das so nennen darf, aus Wikipedia-Wissen resultiert, und ich somit keine Gewähr auf Richtigkeit geben kann. Vorallem meine Behandlung von k als Menge ist doch recht fraglich.)
Ich kenne die ZF-Mengenlehre nicht gut, aber sie basiert auf einer anderen Mengenstruktur, deren Begriffe du auch in diesem Rahmen benutzen musst. Wenn du allerdings Begriffe wie disjunkt im Sinne der naiven Mengenlehre verwendest und nicht klar zwischen Mengen und Zahlen unterscheidest, funktioniert das nicht. Wie du sagtest, macht die Disjunktheit zwischen Menge und Element nur Sinn, wenn das Element auch wieder Menge ist und dadurch werden solche "Menge aller Mengen, die ..."-Mengen verhindert, wie bei RUSSEL. In unserem Problem werden aber nur Teilmengen von IN behandelt, die selbst keine Mengen beinhalten, keineswegs exotische Gebilde.
Die Begründung
Das würde nun ein Verbot der Bildung der Menge S mit dem Element k nachsich ziehen, da S und k nun nicht mehr disjunkt zueinander wären.
würde überhaupt jede Menge verbieten, weil S und k in diesem Satz alles sein kann.
Ich könnte auch A={1,2} nicht bilden, weil dann A und 2 nicht mehr disjunkt zueinander währen.
Deine Begründungen einer Verbindung zu RUSSEL oder eines Widerspruchs zum ZF-Fundierungsaxiom sind also so nicht richtig.
Der Gedankliche Umweg -S durch Ergänzung von k zu irgendeiner Menge zu bilden führt außerdem zu dem Problem, was für eine Menge du davor hattest.
1. kannst du sie nicht -S-k nennen, weil darin die Menge -S vorkommt, deren Zulässigkeit du erst untersuchst.
2. kannst du k nicht unabhängig von -S beschreiben, da es gerade dadurch definiert ist, kleinstes Element von -S zu sein.
-S entsteht also nicht durch Bildung mit k, sondern durch eine Eigenschaft. Erst dann ist k definiert (als kleinste Zahl in -S, deren Existenz gesichert ist). Deine Umformulierung ist zwar eine gute Idee, aber funktioniert nicht. Erst durch die fertige Menge -S ist k definiert.
Ich weis zwar nicht, ob du mich mit der "-S-k"-Sache meinst, und wo ich das gemacht haben soll, aber "kommt Zeit kommt Rat."
Jedenfalls läuft es glaub ich darauf hinaus zu entscheiden ob k nach der Klassierung und Zusprechung der Eigenschaft der kleinsten Zahl aus -S
noch eine Zahl im Sinne des herkömmlichen Zahlenbegriffes ist, denn die Aussage "k ist die kleinste Zahl, die sich nicht aus höchstens 15 Wörtern eindeutig charakterisieren lässt" und Zuordnung von k zu S kann ja nur getroffen werden, wenn man der Zahl eine weitere Eigenschaft zuspricht, und zwar die ob sie zu S gehört oder nicht.
k ist also keine Zahl mehr in dem Sinne, wie man sie zu S hizuzählen würde. Vielmehr müsste man die Einordnungsbedingung für S modifizierenzu um k weiterhin zu S zählen zu können, wie etwa "Sei die Menge der Gebilde, welche natürliche Zahlen darstellen und bezüglich S kategorisiert werden können, die sich mit höchstens 15 Wörtern (aus W) eindeutig verbal beschreiben lassen."
Man müsste der getroffenen Aussage, welche die Umschreibung der Zahl ist, also einen Sinn zuordnen können.
Dies müsste man im Prinzip auch bei jeder anderen Aussage zu einer Zahl, und bei der Definition des Sinnes kommt man bestimmt locker über 15 Wörter.
Da sich
Anmerkung von meinem bösen Ich:
Die Diskussion ist übrigends total Sinnfrei, da sich jede Zahl aus IN mit weniger als 15 Wörtern charakterisieren lässt mit der Aussage "n ist der Nachfolger von n-1." Die 1 ist als Einselement Axiomatisch festgelegt, genauso wie der Nachfolger durch Addition des Einselementes zu einer Zahl. Anhand dieser Aussage kann es kein k geben, weil es kein -S gibt.
Die Behauptung deines bösen Ichs ist falsch. Um z. B. 788 als "Nachfolger von 787" beschreiben zu können, müsste 787 im Duden stehen. (Ich habe nicht nachgesehen, aber ich gehe mal davon aus, dass 787 nicht drinsteht.) Es ist wesentlich, dass nur Wörter aus W zugelassen sind. Mit W ist auch S endlich und somit -S nicht leer.
ich habe dazu eine trivial klingende Frage, deren Antwort allerdings weniger trivial ist. Das Wort fünfunddreißig steht nicht in Duden, kann aber aus der Menge W (alle Wörter im Duden) gebildet werden. Zählt das Wort fünfunddreißig nur als ein Wort, da es ja ein Wort ist, oder betrachtet kann fünfunddreißig als drei Wörter, da es sich aus „fünf“, „und“ und „dreißig“ besteht?
Wenn fünfunddreißig als ein Wort zu begreifen ist, müssen wir zwei Fälle unterscheiden.
a) Das Wort fünfunddreißig ist Teil der Menge S und die Menge S wird unendlich, da sich jede Zahl als Schreibform zu einen Wort zusammenfassen lässt.
b) Das Wort fünfunddreißig ist nicht Teil der Menge S, da es nicht im Duden steht. Damit ist fünfunddreißig Teil von –S, obwohl es aus weniger als 15 Worten besteht. (mit Definitionen kann man eine Menge Unsinn machen)
Wenn fünfunddreißig als drei Worte zu begreifen ist, stellt sich die Frage ob der Duden eine geeignete Definitionsgrundlage darstellt. Denn das Wort einundzwanzig steht im (meinen) Duden, obwohl die selbe Verfahrensweise gefordert wäre.
Eine weitere Grauzone der Definition von S ist die Tatsache (und nun möchte ich das Paradoxon umkehren) dass man die selbe Zahl mit weniger als 15 Worten und mit mehr als 15 Worten beschreiben kann. Dies führt dazu dass ein Element in S und –S sein kann.
Diese Überlegungen führen für mich zu dem Schluss das sich die Symboliken von Zahlen und Sprache (in Sinne von geschriebener Sprache) nicht fehlerlos in einander konvertieren lassen.
Hört bitte auf, so interessiert angeregte Diskussionen zu stiften, ich habe heute mehr über dieses Paradoxon nachgedacht, als über meinen Lernstoff. Aber da der Tag spätestens jetzt sowieso vorbei ist, will ich vergnügt mit euch durchs Plauderland schweifen.
Zusammengesetze Worte können nicht zugelassen werden, da die Endlichkeit von W der Knackpunkt ist. Also Fall a) fällt aus.
Wie W genau aufgebaut ist, spielt im Prinzip eh keine Rolle, solange es nur endlich ist. Ich stelle mir W übrigens so vor:
W={die, kleinste, Zahl, sich, nicht, aus, höchstens, 15, Wörtern, eindeutig, charakterisieren, lässt, Plus, Mal, Hoch, Minus, Eins, Zwei, Drei, ..., Zweiundvierzig, Haare, an, den, Händen}
Zu Fall b)
Das Wort fünfunddreißig ist nicht Teil der Menge S, da es nicht im Duden steht.
stimmt so nicht, weil es nicht im Duden stehen muss, sondern mit höchstens 15 Wörtern aus ddem Duden beschreibbar sein muss, um zu S zu gehören.
Und
Eine weitere Grauzone der Definition von S ist die Tatsache (und nun möchte ich das Paradoxon umkehren) dass man die selbe Zahl mit weniger als 15 Worten und mit mehr als 15 Worten beschreiben kann. Dies führt dazu dass ein Element in S und -S sein kann.
stimm so auch nicht. "Mit höchstens 15 Wörtern beschreibbar" heißt nicht "jede Beschreibung hat höchstens 15 Wörter" sondern "eine Beschreibung hat höchstens 15 Wörter". Die Negation von letzterem ist nicht "eine Beschreibung hat mehr als 15 Wörter" sondern "Keine Beschreibung hat höchstens 15 Wörter" oder äquivalent ausgedrückt "Jede Beschreibung hat über 15 Wörter".
Auch wenn dein Schluss (Zahlen und Sprache) nicht ganz sauber ist, bzw. evtl. eher intuitiv erfolgte ist er richtig, wie er richtiger nicht sein kann. Und falsch auf Wahres schließen ist eine hohe Gabe, die man schwer erlernen kann. Mehr zur Auflösung des Rätsels folgt bald im Post.
Alles klar!
Auf der Website komm ich nur mit folgendem Ausdruck in Konflickt:
Berry(n) = 1 + max(Bedeutung(s): Länge(s) < n)
also "Die kleinste Zahl, die größer ist als alle Zahlen mit Beschreibungen kürzer als n."
An unserem Beispiel von Berry(6) wäre dies nach mir eigentlich die 12 und nicht die 7, da Bedeutung(elf) auch Länge(elf)<6 erfüllt, und somit unter max(Bedeutung(s): Länge(s) < n) die 11 und nicht die 6 herangezogen werden muss.
Ja, die Definition ist auch falsch, weswegen ich mich lieber für die verbale Beschreibung der Funktion entschieden habe. Auf der Seite steht
(1) Die dritte Funktion Berry bekommt eine Zahl n und liefert die kleinste Zahl, deren Beschreibung mindestens n Buchstaben erfordert.
(2) Mit anderen Worten: Die kleinste Zahl, die größer ist als alle Zahlen mit Beschreibungen kürzer als n, oder in mathematischer Schreibweise...
Die zweite Formulierung ist aber nicht gleichbedeutend, was du schön gezeigt hast. Bezeichnen wir daher die erste Beschreibung (1) als "Verbaldefinition".
Als mathematische Umsetzungen der Verbaldefinition könnte ich vorschlagen:
Berry(n) = min(z: für alle s mit Bedeutung(s)=z: Länge(s) >= n)
Berry(n) = min(z: es existiert kein s mit Länge(s) < n und Bedeutung(s)=z)
Die erste Formulierung untersucht unendlich viele Aussagen s und ist damit weniger gut.
Die zweite Formulierung untersucht endlich viele Aussagen s (Länge(s) < n) aber unendlich viele Zahlen z.
Damit tragen diese inhaltlich richtigen Formulierungen die gleiche Unsicherheit bzgl. der Existenz für gewisse n in sich, wie die Verbaldefinition. Ich denke das muss aber so sein, weil später gezeigt wird, dass Berry für gewisse n möglicherweise auch nicht definiert ist. Es ist also okay, von der Verbaldefinition ausgehend Berry als Funktion zu behandeln wenn man im Hinterkopf behält, dass die Existenz im komkreten Fall nicht gezeigt ist.
Tut man dies, so ist Berry(6)=7 und das beschriebene "3-fache Oder-Kriterium" folgt trotzdem aus der Verbaldefinition, womit sie ausreichend ist.
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